Giải tích Ví dụ

$8 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Bước 1

Viết lại vế trái với các số mũ hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 4$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 4$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.9

Kết hợp $8$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.11

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Bước 3.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Bước 3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Bước 3.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Bước 3.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Bước 3.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Bước 3.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Bước 3.3.9

Kết hợp $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $y'$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Bước 3.3.10

Di chuyển $y^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y' = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nhân $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y' = - 2 \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2.1.1.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{- 2 \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2.1.1.3

Nhân $- 2$ với $4$ .

$y' = \frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2.1.1.4

Kết hợp $\frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$