Giải tích Ví dụ

$x y - x + y = 2$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x y - x + y) = \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y - x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x y' + y - 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y - 1 + y'$

Bước 3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x y' + y - 1 + y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' - 1 + y' = - y$

Bước 5.1.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x y' + y' = - y + 1$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' + y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Bước 5.2.2

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = - y + 1$

Bước 5.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = - y + 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 1) = - y + 1$ cho $x + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 1) = - y + 1$ cho $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- y + 1}{x + 1}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{- (y) + 1}{x + 1}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 1)}{x + 1}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (y - 1)}{x + 1}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Viết lại $- (y - 1)$ ở dạng $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (y - 1)}{x + 1}$

Bước 5.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y - 1}{x + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 1}{x + 1}$