Giải tích Ví dụ

$\ln (x y) = e^{x + y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.2

Kết hợp $\frac{x}{x y}$ và $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Bước 2.6.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x y}$ và $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.6.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Bước 2.6.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $e^{x + y} (1 + y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

Bước 5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

Bước 5.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

Bước 5.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $y' e^{x + y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.2

Để viết $- y' e^{x + y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $- y' e^{x + y}$ và $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - y' e^{x + y} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.5.2

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' e^{x + y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.6

Để viết $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Bước 5.2.7

Để viết $\frac{1}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $y x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Nhân $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.8.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.8.3

Sắp xếp lại các thừa số của $y x$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.10.2

Nhân $y'$ với $1$ .

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.10.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.2.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế với $x y$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn $\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Bước 5.4.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Bước 5.4.1.1.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Bước 5.4.1.1.2.2

Di chuyển $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x + y} (x y)$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

Bước 5.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Bước 5.5.2

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x - y' x y e^{x + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Bước 5.5.2.2

Đưa $y' x$ ra ngoài $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Bước 5.5.2.3

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ .

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Bước 5.5.3

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Bước 5.5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ cho $x (1 - y e^{x + y})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ cho $x (1 - y e^{x + y})$ .

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 - y e^{x + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $x y e^{x + y} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y e^{x + y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 5.5.4.3.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$