Giải tích Ví dụ

$\sin (x) - \cos (y) - 2 = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) - \cos (y) - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - \cos (y) - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$\cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\cos (x) - (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\cos (x) - (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\cos (x) + 1 (\sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.5

Nhân $\sin (y)$ với $1$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $\cos (x) + \sin (y) y'$ và $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y'$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\sin (y) y' + \cos (x)$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\sin (y) y' + \cos (x) = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (y) y' + \cos (x)$ .

$y' \sin (y) + \cos (x) = 0$

Bước 5.2

Trừ $\cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' \sin (y) = - \cos (x)$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' \sin (y) = - \cos (x)$ cho $\sin (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' \sin (y) = - \cos (x)$ cho $\sin (y)$ .

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Tách các phân số.

$y' = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ ở dạng một tích.

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Bước 5.3.3.3

Viết $\cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Bước 5.3.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Bước 5.3.3.4.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (y)}$ sang $\csc (y)$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \csc (y))$

Bước 5.3.3.5

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y' = - \cos (x) \csc (y)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \cos (x) \csc (y)$