Giải tích Ví dụ

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (π x) + \cos (π y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Bước 2.4.3

Nhân $π$ với $1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = π y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

Bước 2.5.2

Đạo hàm của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $- \sin (u_{3})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

Bước 2.6

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π y$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.7

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Bước 2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Bước 3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ cho $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ cho $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Bước 5.1.2.1.2

Chia $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ cho $1$ .

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Bước 5.1.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Bước 5.1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin (π x)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

Bước 5.1.3.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

Bước 5.1.3.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Bước 5.1.3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Bước 5.1.3.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

Bước 5.1.3.2

Chia $0$ cho $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

Bước 5.2

Trừ $π \cos (π x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ cho $- π \sin (π y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ cho $- π \sin (π y)$ .

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (π y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Bước 5.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ ở dạng một tích.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Bước 5.3.3.4

Viết $\cos (π x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Chia $\cos (π x)$ cho $1$ .

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Bước 5.3.3.5.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (π y)}$ sang $\csc (π y)$ .

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$