Giải tích Ví dụ

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Bước 2.2.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{y}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 2.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Bước 2.3.5

Nhân $y$ với $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Bước 2.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Bước 2.3.7

Trừ $y'$ khỏi $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Bước 2.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Bước 2.3.9

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Bước 2.3.10

Kết hợp $3$ và $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Bước 2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $\frac{3}{x^{2}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $y^{2}$ .

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn $(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

Bước 5.3.2.1.2

Kết hợp $\frac{3}{x^{2}}$ và $y^{2}$ .

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ cho $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.4.3.1.2

Kết hợp.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Bước 5.4.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Bước 5.4.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 5.4.3.1.4

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$