Giải tích Ví dụ

$e^{x^{2} + y} = 5 x + 4 y + 2$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y}) = \frac{d}{d x} (5 x + 4 y + 2)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 4 y + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.2.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$5 + 4 y' + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$5 + 4 y' + 0$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $5 + 4 y'$ và $0$ .

$5 + 4 y'$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 y' + 5$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Bước 5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Bước 5.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Bước 5.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} = 4 y' + 5$

Bước 5.2

Trừ $4 y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5$

Bước 5.3

Trừ $2 x e^{x^{2} + y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' e^{x^{2} + y} - 4 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Bước 5.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 4 y'$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4 = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ cho $e^{x^{2} + y} - 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ cho $e^{x^{2} + y} - 4$ .

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{2} + y} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$