Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (3 y) = x + y - 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\sin^{2} (3 y)) = \frac{d}{d x} (x + y - 1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (3 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \sin (3 y) \cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các thừa số của $6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$ .

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + y' + 0$

Bước 3.5

Cộng $1 + y'$ và $0$ .

$1 + y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y' = 1 + y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$ .

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) = 1 + y'$

Bước 5.2

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y' = 1$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) - y' = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1 = 1$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ cho $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ cho $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$