Giải tích Ví dụ

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 2.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 2.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Bước 2.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Bước 2.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Bước 2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Bước 2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Bước 2.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Bước 2.3.7

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Bước 2.3.8

Kết hợp $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ và $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Bước 5

Giải tìm $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm một thừa số chung $x^{\frac{1}{3}}$ đại diện cho mỗi số hạng.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Bước 5.2

Thay $u$ bằng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Bước 5.3

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Bước 5.3.2

Trừ $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Bước 5.3.3

Vì biểu thức trên mỗi vế của phương trình có mẫu số giống nhau, nên tử số phải bằng nhau.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.4

Chia mỗi số hạng trong $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ cho $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Bước 5.3.4.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Bước 5.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

Bước 5.3.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

Bước 5.3.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

Bước 5.3.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

Bước 5.3.4.3.2.4

Chia $- y' y^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.4

Thay $y'$ bằng $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$