Giải tích Ví dụ

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

Bước 1

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

Bước 4

Khai triển $(1 - u^{2}) u^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Bước 4.2

Nhân $u^{3}$ với $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Bước 4.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

Bước 4.5

Cộng $2$ và $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Bước 4.6

Sắp xếp lại $u^{3}$ và $- u^{5}$ .

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$