Giải tích Ví dụ

$\sec^{3} (x)$

Bước 1

Đưa

$\sec (x)$ ra ngoài

$\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức

$\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó

$u = \sec (x)$ và

$d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Bước 3

Nâng

$\tan (x)$ lên lũy thừa

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Bước 4

Nâng

$\tan (x)$ lên lũy thừa

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng

$1$ và

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Bước 6.2

Sắp xếp lại

$\tan^{2} (x)$ và

$\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Bước 7

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại

$\tan^{2} (x)$ ở dạng

$- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Bước 8

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 8.3

Sắp xếp lại

$\sec (x)$ và

$- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Bước 9

Nâng

$\sec (x)$ lên lũy thừa

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Bước 10

Nâng

$\sec (x)$ lên lũy thừa

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Bước 12

Cộng

$1$ và

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Bước 13

Nâng

$\sec (x)$ lên lũy thừa

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Bước 14

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Bước 15

Cộng

$2$ và

$1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Bước 16

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 17

Vì

$- 1$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 18

Tích phân của

$\sec (x)$ đối với

$x$ là

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Bước 19

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 19.2

Nhân

$- 1$ với

$- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Bước 20

Khi giải tìm

$\int \sec^{3} (x) d x$ , chúng ta thấy rằng

$\int \sec^{3} (x) d x$ =

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Bước 21

Nhân

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ với

$1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Bước 22

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$