Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x} - 6 \sqrt[3]{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x} - 6 \sqrt[3]{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.2

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 3.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 3.10

Kết hợp $- 6$ và $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 3.11

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.12

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Bước 3.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$