Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + x^{2}$ và $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.10.2

Nhân $1 + x^{2}$ với $1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 2.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + x^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.1.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Cộng $- 2 x^{3}$ và $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.2.2

Cộng $2 x + 2 x$ và $0$ .

$\frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.3

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Bước 3.7.2

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.7.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Bước 3.7.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$