Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x}{x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $(y - 1) (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - x = y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - x - y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - y = x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - y = x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = x$ cho $x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = x$ cho $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Bước 5.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.4

Viết lại $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Bước 5.2.4.4.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Bước 5.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Bước 5.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 5.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 5.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Bước 5.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Bước 5.3.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Bước 5.3.4.4

Viết lại $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 5.3.4.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Bước 5.3.4.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Bước 5.3.4.4.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$