Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{7 x}{2^{x}}$

Bước 1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7 x}{2^{x}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 2^{x}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(2^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Bước 3.3

Nhân $2^{x}$ với $1$ .

$7 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$7 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Bước 5

Kết hợp $7$ và $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{7 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + 7 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Bước 6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $7 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - 7 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Bước 6.2.1.1.2

Rút gọn $- 7 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $7$ trong logarit.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{7})))}{2^{2 x}}$

Bước 6.2.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (2^{7}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Bước 6.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Bước 6.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (128)}{2^{2 x}}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Bước 6.4

Đưa $2^{x}$ ra ngoài $- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $2^{x}$ ra ngoài $- 2^{x} x \ln (128)$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Bước 6.4.2

Đưa $2^{x}$ ra ngoài $7 \cdot 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7}{2^{2 x}}$

Bước 6.4.3

Đưa $2^{x}$ ra ngoài $2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128) + 7)}{2^{2 x}}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{x}$ và $2^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $2^{2 x}$ ra ngoài $2^{x} (- x \ln (128) + 7)$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x}}$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (128) + 7)}{1}$

Bước 6.5.2.4

Chia $2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$ cho $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$

Bước 6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2^{- x} (- x \ln (128)) + 2^{- x} \cdot 7$

Bước 6.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 7$

Bước 6.8

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $2^{- x}$ .

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$

Bước 6.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$ .

$- x \cdot 2^{- x} \ln (128) + 7 \cdot 2^{- x}$