Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x {(5 x + 3)}^{4}$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x {(5 x + 3)}^{4}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(5 x + 3)}^{4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{4}] + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 5 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x + 3$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x + 3$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Nhân $5$ với $1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + 0)) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Cộng $5$ và $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \cdot 5) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.6.2

Nhân $5$ với $4$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Bước 4.8

Nhân ${(5 x + 3)}^{4}$ với $1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Bước 5.2

Nhân $20$ với $4$ .

$80 (x ({(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Bước 5.3

Đưa $4 {(5 x + 3)}^{3}$ ra ngoài $80 x {(5 x + 3)}^{3} + 4 {(5 x + 3)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $4 {(5 x + 3)}^{3}$ ra ngoài $80 x {(5 x + 3)}^{3}$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Bước 5.3.2

Đưa $4 {(5 x + 3)}^{3}$ ra ngoài $4 {(5 x + 3)}^{4}$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$

Bước 5.3.3

Đưa $4 {(5 x + 3)}^{3}$ ra ngoài $4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x + 5 x + 3)$

Bước 5.4

Cộng $20 x$ và $5 x$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (25 x + 3)$