Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} (5 - 3 x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 3 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{3} (- 3 (2 x)) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 3$ .

$x^{3} (- 6 x) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 6 x^{4} + (5 - 3 x^{2}) (3 x^{2})$

Bước 6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $5 - 3 x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 3 \cdot (5 - 3 x^{2}) x^{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 x^{4} + (3 \cdot 5 + 3 (- 3 x^{2})) x^{2}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 x^{4} + 3 \cdot 5 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Bước 7.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $3$ với $5$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Bước 7.3.2

Nhân $- 3$ với $3$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2} x^{2}$

Bước 7.3.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2})$

Bước 7.3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2 + 2}$

Bước 7.3.3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{4}$

Bước 7.3.4

Trừ $9 x^{4}$ khỏi $- 6 x^{4}$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$