Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \log_{9} (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\log_{9} (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (9)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 5

Nhân $\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ với $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp.

$\frac{\ln (9) (\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (9)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 6.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) (2 x))}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x + \ln (9) (- 2 \log_{9} (x) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn $- 2 \log_{9} (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 9.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)$ .

$\frac{x - x \ln (9) \log_{9} (x^{2})}{\ln (9) x^{4}}$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Bước 9.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2})$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Bước 9.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (9)}$

Bước 9.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (9)}$

Bước 9.3.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Bước 9.4

Khai triển $\log_{9} (x^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Bước 9.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} \ln (9)$ .

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Bước 9.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Bước 9.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Bước 9.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (9) \log_{9} (x) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Bước 9.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 \ln (9) \log_{9} (x)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Bước 9.8

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Bước 9.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Bước 9.10

Viết lại $- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ ở dạng $- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Bước 9.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1}{x^{3} \ln (9)}$