Giải tích Ví dụ

$\ln (\csc (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 2

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 5

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

Bước 6.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

Bước 6.3

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Bước 6.4

Nhân $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Bước 6.4.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

Bước 6.4.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

Bước 6.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

Bước 6.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ vào tử số.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Bước 6.5.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Bước 6.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Bước 6.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 6.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 6.7

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$- \cot (x)$