Giải tích Ví dụ

$y = (5 - x^{2}) (x^{3} - 5 x + 5)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 5 - x^{2}$ và $g (x) = x^{3} - 5 x + 5$ .

$(5 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x + 5] + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 5 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(5 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.3

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.5

Nhân $- 5$ với $1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.6

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.7

Cộng $3 x^{2} - 5$ và $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.9

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- (2 x))$

Bước 2.13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- 2 x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $3$ với $5$ .

$15 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$15 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$15 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$15 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.4

Nhân $5$ với $- 5$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.5

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + 5 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.6

Cộng $15 x^{2}$ và $5 x^{2}$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.7

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Di chuyển $x$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.7.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.7.3

Cộng $1$ và $3$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{4} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.8

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 \cdot x^{4} - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.9

Nhân $- 2$ với $- 5$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x \cdot x + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.10

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1}) + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{1 + 1} + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.13

Cộng $1$ và $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} + 5 (- 2 x)$

Bước 3.5.14

Nhân $- 2$ với $5$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} - 10 x$

Bước 3.5.15

Trừ $2 x^{4}$ khỏi $- 3 x^{4}$ .

$20 x^{2} - 5 x^{4} - 25 + 10 x^{2} - 10 x$

Bước 3.5.16

Cộng $20 x^{2}$ và $10 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 5 x^{4} - 25 - 10 x$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 10 x - 25$