Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Bước 2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{x + 3}{2 x}$ với $1$ .

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x + 3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

Bước 3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{x + 3}{2 x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.2

Nhân $x + 3$ với $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6.4

Cộng $0$ và $3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6.5

Nhân $\frac{x + 3}{x}$ với $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6.7

Triệt tiêu thừa số chung của $x + 3$ và ${(x + 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.7.1

Đưa $x + 3$ ra ngoài $3 (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Bước 5.6.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.7.2.1

Đưa $x + 3$ ra ngoài $x {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Bước 5.6.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Bước 5.6.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{x (x + 3)}$