Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{5} \ln (x))}^{6}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = x^{5} \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5} \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{5}$ và $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4.2.2.5

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x^{5} \ln (x)$ .

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3.1.2

Nhân $5$ với $5$ .

$6 (x^{25} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3.2

Nhân $x^{25}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x^{25}) \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3.2.3

Cộng $4$ và $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3.3.2

Nhân $5$ với $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{25} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Bước 5.3.4

Nhân $5$ với $6$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{25} \ln^{5} (x) (\ln (x) (x^{4}))$

Bước 5.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Bước 5.3.6

Cộng $4$ và $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Bước 5.3.7

Nâng $\ln (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{5} (x))$

Bước 5.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 5}$

Bước 5.3.9

Cộng $1$ và $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{6} (x)$