Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{2} + 3 e^{x}}{2 e^{x} - x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 3 e^{x}$ và $g (x) = 2 e^{x} - x$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 e^{x}] - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{x} - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Khai triển $(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{x} (2 x + 3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 \cdot 2 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x} e^{x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.4

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1.4.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 (e^{x} e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x + x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.4.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.5

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x \cdot x - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.7

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1.7.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.7.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.8

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.1.10

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.2

Trừ $3 x e^{x}$ khỏi $4 e^{x} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 3 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2.2.2

Trừ $3 x e^{x}$ khỏi $4 x e^{x}$ .

$\frac{1 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.5

Khai triển $(- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x} - 1) - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.6.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.3

Nhân $- x^{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.6.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 1 x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.3.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.5

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.6.5.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x + x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.5.3

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.6

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.1.6.7

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Trừ $6 e^{2 x}$ khỏi $6 e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 0 + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2}$ và $0$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.2.3

Cộng $- 2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x e^{x} - x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $e^{x} x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- e^{x} x)$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 e^{x}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.11

Viết lại $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ ở dạng $- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Bước 7.13

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - x e^{x} + 2 x^{2} e^{x} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$