Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{a x}$ ở dạng ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $a x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $a x$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.3

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.10

Nhân $a$ với $1$ .

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.12

Kết hợp $\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $a$ .

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 2.13

Di chuyển ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{a x}$ ở dạng ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3.2

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = {(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $a x$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x]))$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $a x$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

Bước 3.6

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Bước 3.8

Nhân các số mũ trong ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Bước 3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Bước 3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Bước 3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

Bước 3.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1)))$

Bước 3.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

Bước 3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

Bước 3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1)))$

Bước 3.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1)))$

Bước 3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1)))$

Bước 3.14

Nhân $a$ với $1$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a))$

Bước 3.15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a))$

Bước 3.16

Kết hợp $\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $a$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2})$

Bước 3.17

Di chuyển ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 3.18

Kết hợp $\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ và ${(a x)}^{- 1}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a {(a x)}^{- 1}}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 3.19

Di chuyển ${(a x)}^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

Bước 3.20

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

Bước 3.21

Viết lại biểu thức.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)})$

Bước 3.22

Kết hợp $a$ và $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$ .

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $a x$ .

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $a x$ .

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển $a^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Bước 4.3.2

Nhân $a$ với $a^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $a$ với $a^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Bước 4.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Bước 4.3.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Bước 4.3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Bước 4.3.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

Bước 4.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 4.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 4.3.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.3.8

Di chuyển $a^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.3.9

Nhân $a$ với $a^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.9.1

Nhân $a$ với $a^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.9.1.1

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.3.9.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.3.9.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.3.9.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.3.9.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$