Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[3]{24 x^{2} + 8}$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{24 x^{2} + 8}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $24 x^{2} + 8$ ở dạng $2^{3} (3 x^{2} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $24 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8}]$

Bước 1.1.2

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8 (1)}]$

Bước 1.1.3

Đưa $8$ ra ngoài $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2} + 1)}]$

Bước 1.1.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2^{3} (3 x^{2} + 1)}]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{3 x^{2} + 1}$ ở dạng ${(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 8.3

Di chuyển ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ và $2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 10

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 12

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 13

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + 0)$

Bước 14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $6 x$ và $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x)$

Bước 14.2

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Bước 14.3

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Bước 14.4

Kết hợp $\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 14.5

Đưa $3$ ra ngoài $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$