Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{3} x^{3})$

Bước 1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{3}}{3})] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x - \frac{x^{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - \frac{x^{3}}{3}$ .

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}}$ và $x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.4

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} (3 x^{2})) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3}{3} x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6.3

Kết hợp $\frac{- 3}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3 x^{2}}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- x^{2}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.6.4.2.4

Chia $- x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) (4 x^{3})$

Bước 4.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$(1 - x^{2}) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$