Giải tích Ví dụ

$y = e^{4 \sqrt{x} + x^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 10

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 12

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 x)$