Giải tích Ví dụ

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 - x e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x e^{- x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

Bước 5.5

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

Bước 6.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ .

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

Bước 6.4

Nhân $x e^{- x} - e^{- x}$ với $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ .

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Bước 6.5

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $x e^{- x} - e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $x e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Bước 6.5.2

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

Bước 6.5.3

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$