Giải tích Ví dụ

$y = 8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(1 - 3 x)}^{5}$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - 3 x)}^{5}] + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = 1 - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - 3 x$ .

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$8 (x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 3 x$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.5

Nhân $- 3$ với $5$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \cdot 1) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.7

Nhân $- 15$ với $1$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} (2 x))$

Bước 4.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 - 3 x)}^{5}$ .

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + 2 \cdot {(1 - 3 x)}^{5} x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

Bước 5.2

Nhân $- 15$ với $8$ .

$- 120 (x^{2} ({(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $8$ .

$- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 ({(1 - 3 x)}^{5} x)$

Bước 5.4

Đưa $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ ra ngoài $- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ ra ngoài $- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4}$ .

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$

Bước 5.4.2

Đưa $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ ra ngoài $16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ .

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$

Bước 5.4.3

Đưa $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ ra ngoài $8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$ .

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x + 2 (1 - 3 x))$