Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\frac{1}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Bước 2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ và $x^{- 2}$ .

$- \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Bước 2.3.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Bước 3.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

Bước 3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Bước 3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{x^{2} + 1}$