Giải tích Ví dụ

$y = 5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{2}{5}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.6.2

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.9

Kết hợp $5$ và $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{- \frac{3}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.12

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (x^{\frac{3}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{x^{4}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 3.8

Nhân $- 4$ với $- 3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 4.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 4.7.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Bước 4.9

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 4.10

Kết hợp $6$ và $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{6 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Bước 4.11

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 4.12

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.13

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Bước 4.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 \frac{1}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.2

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{12}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{12}{x^{5}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$