Giải tích Ví dụ

$y = 3 x e^{4 x^{2}}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x e^{4 x^{2}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x e^{4 x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{4 x^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{4 x^{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{4 x^{2}}] + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2}$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (4 (2 x))) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $4$ .

$3 (x (e^{4 x^{2}} (8 x)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (x^{1} x (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (x^{1} x^{1} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 (x^{1 + 1} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x^{2}} \cdot (8)) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $e^{4 x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (8 \cdot e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}} \cdot 1)$

Bước 10

Nhân $e^{4 x^{2}}$ với $1$ .

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}}) + e^{4 x^{2}})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (x^{2} (8 e^{4 x^{2}})) + 3 e^{4 x^{2}}$

Bước 11.2

Nhân $8$ với $3$ .

$24 x^{2} e^{4 x^{2}} + 3 e^{4 x^{2}}$

Bước 11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$24 e^{4 x^{2}} x^{2} + 3 e^{4 x^{2}}$

Bước 11.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $24 e^{4 x^{2}} x^{2} + 3 e^{4 x^{2}}$ .

$24 x^{2} e^{4 x^{2}} + 3 e^{4 x^{2}}$