Giải tích Ví dụ

$x^{\frac{y}{z}}$

Bước 1

Lấy đạo hàm bằng cách dùng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, công thức phát biểu rằng $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ bằng $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ khi $f = x$ và $g = \frac{y}{z}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{y}{z}$ và $x^{\frac{y}{z} - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Bước 2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Bước 2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $0$ với $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Bước 2.3.2

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Bước 2.4

Vì $\frac{1}{z}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y}{z}$ đối với $y$ là $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Bước 2.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp $x^{\frac{y}{z}}$ và $\frac{1}{z}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

Bước 2.5.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Bước 2.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ với $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

Bước 2.7.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$