Giải tích Ví dụ

$y = x \ln^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $2$ .

$x (\frac{2}{x} \ln (x)) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $\ln (x)$ .

$x \frac{2 \ln (x)}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2.3.2

Chia $2 \ln (x)$ cho $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \cdot 1$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $\ln^{2} (x)$ với $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x)$

Bước 4.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln^{2} (x) + 2 \ln (x)$