Giải tích Ví dụ

$r = \frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}})$

Bước 2

Đạo hàm của $r$ đối với $s$ là $r'$ .

$r'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2 s}$ đối với $s$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{1}{s}$ ở dạng $s^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Bước 3.2.5

Di chuyển $s^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{8}{5}$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $- \frac{8}{5 s^{4}}$ đối với $s$ là $- \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{s^{4}}$ ở dạng ${(s^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = s^{- 1}$ và $g (s) = s^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

Bước 3.3.5

Nhân các số mũ trong ${(s^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

Bước 3.3.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

Bước 3.3.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

Bước 3.3.7

Nhân $s^{- 8}$ với $s^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Di chuyển $s^{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

Bước 3.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

Bước 3.3.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 5})$

Bước 3.3.8

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 4 (\frac{8}{5}) s^{- 5}$

Bước 3.3.9

Kết hợp $4$ và $\frac{8}{5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{4 \cdot 8}{5} s^{- 5}$

Bước 3.3.10

Nhân $4$ với $8$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5} s^{- 5}$

Bước 3.3.11

Kết hợp $\frac{32}{5}$ và $s^{- 5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32 s^{- 5}}{5}$

Bước 3.3.12

Di chuyển $s^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$r' = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Bước 5

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$