Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{s + k e^{s}}$ ở dạng ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = s^{- 1}$ và $g (s) = s + k e^{s}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $s + k e^{s}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $s + k e^{s}$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $s + k e^{s}$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Bước 3.3

Vì $k$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $k e^{s}$ đối với $s$ là $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ là $a^{s} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ .

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Bước 5.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Bước 5.5

Nhân $- 1 - k e^{s}$ với $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Bước 5.6

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Bước 5.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- k e^{s}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Bước 5.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (k e^{s})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Bước 5.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$