Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ là $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ trong đó $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ và $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (q) + \cos (q)$ đối với $q$ là $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (q)$ đối với $q$ là $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (q)$ đối với $q$ là $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Bước 5

Đạo hàm của $\sin (q)$ đối với $q$ là $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Trừ $\sin (q) \cos (q)$ khỏi $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.1.2

Cộng $\sin (q) (- \sin (q))$ và $0$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.2

Nhân $- \sin (q) \sin (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Nâng $\sin (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.2.2

Nâng $\sin (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.3

Nhân $- \cos (q) \cos (q)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.3.1

Nâng $\cos (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.3.2

Nâng $\cos (q)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.4.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Bước 6.5.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ sang $\csc^{2} (q)$ .

$- \csc^{2} (q)$