Giải tích Ví dụ

f (x) = \sin (x) \csc (x)

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ và

g (x) = \csc (x)

$g (x) = \csc (x)$ .

\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2

Đạo hàm của

\csc (x)

$\csc (x)$ đối với

x

$x$ là

- \csc (x) \cot (x)

$- \csc (x) \cot (x)$ .

\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3

Đạo hàm của

\sin (x)

$\sin (x)$ đối với

x

$x$ là

\cos (x)

$\cos (x)$ .

\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại

\cot (x)

$\cot (x)$ theo sin và cosin.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.2

Viết lại

\csc (x)

$\csc (x)$ theo sin và cosin.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.3

Nhân

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân

\frac{1}{\sin (x)}

$\frac{1}{\sin (x)}$ với

\frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.3.2

Nâng

\sin (x)

$\sin (x)$ lên lũy thừa

1

$1$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.3.3

Nâng

\sin (x)

$\sin (x)$ lên lũy thừa

1

$1$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.3.5

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong

- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ vào tử số.

\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.4.2

Đưa

\sin (x)

$\sin (x)$ ra ngoài

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ .

\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.4.4

Viết lại biểu thức.

\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Bước 4.2.6

Viết lại

\csc (x)

$\csc (x)$ theo sin và cosin.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 4.2.7

Kết hợp

\cos (x)

$\cos (x)$ và

\frac{1}{\sin (x)}

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 4.3

Cộng

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và

\frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

0

$0$

0

$0$