Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\sec (x)}{2 - \cos (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 - \cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + 1 \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.5.2

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \sec (x) - \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.4

Nhân $\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.4.1

Nhân $\frac{2}{\cos (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.5

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.5.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.5.2

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\sec (x) \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.5.3

Viết lại $- \cos (x) \sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.5.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.7

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.8

Viết lại $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ở dạng $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x) \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.10

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.1.11

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.3

Trừ $\sin (x)$ khỏi $- \sin (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.2

Tách các phân số.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.4

Tách các phân số.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{2}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.6

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.7

Tách các phân số.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.8

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.9

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (2 \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.3.5.10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $2 \tan (x)$ ra ngoài $2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Đưa $2 \tan (x)$ ra ngoài $2 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.4.1.2

Đưa $2 \tan (x)$ ra ngoài $- 2 \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.4.1.3

Đưa $2 \tan (x)$ ra ngoài $2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.4.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.4.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.4.4

Kết hợp $2$ và $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.5

Đưa $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ ra ngoài $\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.6

Nhân $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\cos (x) {(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.7

Tách các phân số.

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 5.8

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

Bước 5.9

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

Bước 5.10

Kết hợp $\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ và $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$