Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{9} \ln (4 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{9}$ và $g (x) = \ln (4 x)$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$x^{9} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{4 x}$ và $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{9}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{9}$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8}}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{8}}{4}$ .

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.4.2.2

Chia $x^{8}$ cho $1$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{8} \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.6

Nhân $x^{8}$ với $1$ .

$x^{8} + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$x^{8} + \ln (4 x) (9 x^{8})$

Bước 3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{8} + 9 x^{8} \ln (4 x)$