Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{8}$ và $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{7}] + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.4.2

Nhân $7$ với $1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Bước 3.6

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của ${(x - 1)}^{7}$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Bước 4.1.2

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Bước 4.1.3

Đưa $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ ra ngoài $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Bước 4.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$