Giải tích Ví dụ

$5 y^{2} - 8 x^{4} + 3 = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2} - 8 x^{4} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 y^{2} - 8 x^{4} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 y^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $5$ .

$10 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x^{4}$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$10 y y' - 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $- 8$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $10 y y' - 32 x^{3}$ và $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3}$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 32 x^{3} + 10 y y'$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 32 x^{3} + 10 y y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $32 x^{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$10 y y' = 32 x^{3}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $10 y y' = 32 x^{3}$ cho $10 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $10 y y' = 32 x^{3}$ cho $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $32$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $32 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{10 y}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 y$ .

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3}}{5 y}$