Giải tích Ví dụ

$f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ và $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.6

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + 0)$

Bước 3.7

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Bước 4.3.2

Cộng $- 2 x e^{x}$ và $e^{x} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $- 2 x e^{x}$ và $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Bước 4.3.3

Cộng $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ và $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x}$

Bước 4.3.4

Trừ $2 e^{x}$ khỏi $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Bước 4.3.5

Cộng $x^{2} e^{x}$ và $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các thừa số của $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$