Giải tích Ví dụ

$x^{2} (120 - x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 120 - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [120 - x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $120 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Vì $120$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $120$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6.3

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- x^{2} + (120 - x) (2 x)$

Bước 2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $120 - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (120 - x) x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} + (2 \cdot 120 + 2 (- x)) x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} + 2 \cdot 120 x + 2 (- x) x$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $120$ .

$- x^{2} + 240 x + 2 (- x) x$

Bước 3.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x \cdot x$

Bước 3.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x)$

Bước 3.3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x^{1})$

Bước 3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{1 + 1}$

Bước 3.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{2}$

Bước 3.3.7

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 240 x$