Giải tích Ví dụ

$x^{5} \sin^{2} (3 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = \sin^{2} (3 x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (3 x)$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (3 x)$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 4.4

Nhân $6$ với $1$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) (5 x^{4})$

Bước 4.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 x^{5} \cos (3 x) \sin (3 x) + 5 x^{4} \sin^{2} (3 x)$