Giải tích Ví dụ

$\frac{x + 7}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 7$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 7

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 8.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Bước 10

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Bước 11

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Bước 12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Bước 13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Bước 13.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Bước 14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Bước 16

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.4

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.5

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.2

Để viết $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.3

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.5

Trừ $x^{\frac{1}{2}}$ khỏi $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.5.1

Sắp xếp lại $x^{\frac{1}{2}}$ và $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.3.5.2

Trừ $x^{\frac{1}{2}}$ khỏi $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.1

Nhân $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 17.4.2

Kết hợp.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 17.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 17.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 17.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 17.4.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.4.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.4.7

Nhân $- 2$ với $7$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.4.8

Đưa $2$ ra ngoài $- 14$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.4.9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Bước 17.4.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.4.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.4.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.1

Để viết $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.3.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.3.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.5.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.5.3.1.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.5.3.1.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.5.3.2

Rút gọn $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 17.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Bước 17.7

Nhân $\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.7.1

Nhân $\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Bước 17.7.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.7.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x - 7}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 17.7.2.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.7.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x - 7}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 17.7.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x - 7}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 17.7.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x - 7}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 17.7.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x - 7}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Bước 17.7.2.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{x - 7}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 17.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$