Giải tích Ví dụ

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 2.5.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.3.2

Cộng $e^{x}$ và $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.5

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 4.5.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

Bước 4.5.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

Bước 4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{x} (- x + 2)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

Bước 4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

Bước 4.6.2.4

Chia $e^{- x} (- x + 2)$ cho $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

Bước 4.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

Bước 4.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

Bước 4.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

Bước 4.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$