Giải tích Ví dụ

$4 x e^{3 x}$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x e^{3 x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{3 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$4 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$4 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$4 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Bước 4.5

Nhân $e^{3 x}$ với $1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (x (3 e^{3 x})) + 4 e^{3 x}$

Bước 5.2

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$ .

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$