Giải tích Ví dụ

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ ở dạng ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 7.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 7.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 8

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$ và $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$