Giải tích Ví dụ

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ ở dạng ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Bước 11

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 12.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 15.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$